Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形.且，，.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意，因為底面為正方形，利用勾股定理，證得，，再結合線面垂直的判定定理，即可求解；

（2）分別以，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）由題意，因為底面為正方形，且，，，

所以，，

所以，.

又，平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）知平面，又因為底面為正方形，

所以分別以，，為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

所以，，，

設平面的一個法向量為，

則，即，即，

令，所以.

同理可求得平面的一個法向量，

所以.

又二面角的平面角為鈍角，

故二面角的余弦值為.