Question

【題目】某校舉行運動會，其中三級跳遠的成績在8.0米 (四舍五入,精確到0.1米) 以上的進入決賽，把所得數據進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖)，已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小組的頻數是7 .

（Ⅰ）求進入決賽的人數；

（Ⅱ）若從該校學生（人數很多）中隨機抽取兩名，記表示兩人中進入決賽的人數，求的分布列及數學期望；

(Ⅲ) 經過多次測試后發現，甲成績均勻分布在8～10米之間，乙成績均勻分布在9.5～10.5米之間，現甲,乙各跳一次，求甲比乙遠的概率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）見解析；(Ⅲ).

【解析】

【試題分析】（Ⅰ）借助題設中的頻率分布直方圖及頻率和頻數之間的關系求解; （Ⅱ）依據題設運用貝努里概率分布公式探求；(Ⅲ)條件運用古典概型公式求解:

（Ⅰ）第6小組的頻率為1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，

∴總人數為(人). …………………………………………………………………2分

∴第4、5、6組成績均進入決賽，人數為(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)

即進入決賽的人數為 . …………………………………………………………………4分

（Ⅱ）=0,1,2,進入決賽的概率為 ∴～，

，

，.　……………………………6分　　　　　　

所求分布列為

，兩人中進入決賽的人數的數學期望為. ………………………8分

(Ⅲ)設甲、乙各跳一次的成績分別為米，則基本事件滿足的區域為

，

事件“甲比乙遠的概率”滿足的區域為，如圖所示. …………………………10分

∴由幾何概型. 即甲比乙遠的概率為.……………………12分