Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+bx²-3a²x（a≠0）在x=a處取得極值，
（1）用x，a表示f（x）；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=2x³-3af′（x）-6a³如果g（x）在區(qū)間（0，1）上存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

Answer 1

（1）由題得 f′（x）=-x²+2bx-3a²，
因?yàn)閒′（a）=0?b=2a?f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x
所以f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x．
（2）由已知，g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³，令g'（x）=0?x=a或x=-2a
①若a＞0?當(dāng)x＜a或x＞-2a時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)-2a＜x＜a時(shí)，g′（x）＜0
所以當(dāng)x=a∈（0，1）時(shí)，g（x）在（0，1）有極小值．
②同理當(dāng)a＜0時(shí)，x=-2a∈（0，1），即a∈（-

1

2

，0）時(shí)，g（x）在（0，1）有極小值
綜上所述：當(dāng)a∈（0，1）∪（-

1

2

，0）時(shí)，g（x）在（0，1）有極小值