Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=

π

3

，若PA=PD，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若E為BC的中點，能否在棱PC上找到一點F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點O，連結PO、BO、BD．利用含有60°的菱形的性質，證出OB⊥AD，等腰△PAD中證出PO⊥AD，從而得出AD⊥平面POB，進而可得AD⊥PB；
（2）當F為PC的中點時，平面DEF⊥平面ABCD．證明：連結OE、OC，菱形ABCD中，利用已知條件證出四邊形DOEC為平行四邊形，設DE∩OC=M，利用中位線定理證出FM∥PO．利用面面垂直性質定理，證出PO⊥平面ABCD，從而FM⊥平面ABCD，根據FM?平面DEF，即可得到平面DEF⊥平面ABCD．

解答：解：（1）取AD的中點O，連結PO、BO、BD
∵PA=PD，∴PO⊥AD
∵底面ABCD是含有60°的菱形，∠BAD=60°，O為AD中點
∴△ABD是正三角形，可得OB⊥AD，
∵PO、OB是平面POB內的相交直線，∴AD⊥平面POB
∵PB?平面POB，∴AD⊥PB；
（2）當F為PC的中點時，平面DEF⊥平面ABCD，證明如下
連結OE、OC
∵菱形ABCD中，E為BC的中點，O為AD的中點
∴DO

∥

.

CE，可得四邊形DOEC為平行四邊形
設DE∩OC=M，可得M為OC的中點，得FM∥PO
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD
∴PO⊥平面ABCD，可得FM⊥平面ABCD，
∵FM?平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD

點評：本題在四棱錐中證明異面垂直，并判斷面面垂直的存在性．著重考查了空間線面垂直的判定與性質、面面垂直性質定理和平行四邊形與菱形的性質等知識，屬于中檔題．