Question

舉世矚目的巴西足球世界杯將于2014年6月在巴西舉行，這是四年一度的足球盛宴，是全世界足球迷的節日．在每場比賽之前，世界杯組委會都會指派裁判員進行執法．在某場比賽前，有10名裁判可供選擇，其中歐洲裁判3人，亞洲裁判4人，美洲裁判3人．若組委會要從這10名裁判中任選3人執法本次比賽．求：
（1）選出的歐洲裁判人數多于亞洲裁判人數的概率；
（2）選出的3人中，歐洲裁判人數X的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列,歸納推理

專題：概率與統計

分析：（1）設“選出的3名裁判中歐洲裁判人數多于亞洲裁判人數”為事件A，“恰好選出1名歐洲裁判和2名美洲裁判”為事件A₁，“恰好選出2名歐洲裁判”為事件A₂，“恰好選出3名歐洲裁判”為事件A₃，由于A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，由此能求出選出的歐洲裁判人數多于亞洲裁判人數的概率．
（Ⅱ）從10人中任選3人，其中恰有k名歐洲裁判的概率為P（X=k）=

C k 3 C 3-k 7

C 3 10

，k=0，1，2，3，由此能求出歐洲裁判人數X的分布列和數學期望．

解答： 解：（1）設“選出的3名裁判中歐洲裁判人數多于亞洲裁判人數”為事件A，
“恰好選出1名歐洲裁判和2名美洲裁判”為事件A₁，
“恰好選出2名歐洲裁判”為事件A₂，
“恰好選出3名歐洲裁判”為事件A₃，
由于A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，
而P（A₁）=

C 1 3 C 2 3

C 3 10

=

3

40

，
P（A₂）=

C 2 3 C 1 7

C 3 10

=

7

40

，
P（A₃）=

C 3 3 C 0 7

C 3 10

=

1

120

，
∴選出的歐洲裁判人數多于亞洲裁判人數的概率：
P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=

3

40

+

7

40

+

1

120

=

31

120

．
（Ⅱ）解：∵從10名裁判中任選3人的結果為

C

3 10

，
從10名裁判中任取3人，其中恰有k名歐洲裁判的結果數為

C

k 3

C

3-k 7

，
∴從10人中任選3人，其中恰有k名歐洲裁判的概率為P（X=k）=

C k 3 C 3-k 7

C 3 10

，k=0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 7

C 3 10

=

7

24

，
P（X=1）=

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

21

40

，
P（X=2）=

C 2 3 C 1 7

C 3 10

=

7

40

，
P（X=3）=

C 3 3 C 0 7

C 3 10

=

1

120

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	7 24	21 40	7 40	1 120

EX=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．