Question

12．已知函數f（x）=a^x+$\frac{x-2}{x-1}$（a＞1），用反證法證明f（x）=0沒有負實數根．

Answer 1

分析 設存在x₀＜0（x₀≠-1），滿足f（x₀）=0，推出這矛盾，問題得以解決

解答 證明：設存在x₀＜0（x₀≠-1），滿足f（x₀）=0，--------------------------------------（2分）
則${a^{x_0}}=-\frac{{{x_0}-2}}{{{x_0}+1}}$．
又0＜${a^{x_0}}$＜1，所以0＜-$\frac{{x}_{0}-2}{{x}_{0}+1}$＜1，--------------------------------------------（4分）
解之得：$\frac{1}{2}＜{x_0}＜2$，---------------------------------------------------（8分）
與x₀＜0（x₀≠-1）假設矛盾．
故f（x）=0沒有負實數根．------------------------------------------------（10分）

點評 本題考查用反證法證明數學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點．