Question

某學校擬建一塊周長為400米的操場（如圖所示），操場的兩頭是半圓形，中間區域是矩形，學生做操一般安排在矩形區域．
（1）將矩形區域的長（y）表示成寬（x）的函數y=f（x）；
（2）為了能讓學生的做操區域盡可能大，試問如何設計矩形區域的長和寬？

Answer 1

分析：（1）由周長為400米，利用圓的周長公式可得矩形區域的長（y）表示成寬（x）的函數y=f（x）；
（2）S_矩形=xy=-

π

2

x2+200x，利用配方法，即可求得結論．

解答：解：（1）設矩形的長為y，寬為x，則
由周長為400米，利用操場的周長等于圓的周長公式+矩形長的2倍，可得2π×

x

2

+2y=400
化簡得：y=-

π

2

x+200，x∈(0，

400

π

)
（2）做操區域的面積S_矩形=xy=-

π

2

x2+200x=-

π

2

(x-

200

π

)2+

20000

π

，
∵x∈(0，

400

π

)
∴當x=

200

π

，y=100時，矩形面積最大．
答：（1）函數y=f（x）為：y=-

π

2

x+200，x∈(0，

400

π

)；（2）當長為100米，寬為

200

π

米時，學生的做操區域最大．

點評：本題考查周長與面積的計算，考查配方法求函數的最值，屬于中檔題．