Question

某學(xué)校擬建一塊周長為400m的操場如圖所示，操場的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大，試問如何設(shè)計矩形的長和寬？

Answer 1

分析：若設(shè)矩形的長為xm，半圓的直徑是d，中間的矩形區(qū)域面積是Sm²，則S=dx，且2x+πd=400；而S=dx=

1

2π

•πd•2x≤

1

2π

(

πd+2x

2

)2，可得最大值以及對應(yīng)的d、x的值．

解答：解：設(shè)矩形的長為xm，半圓的直徑是d，中間的矩形區(qū)域面積是Sm²，根據(jù)題意，知
S=dx，且2x+πd=400．
∴S=dx=

1

2π

•πd•2x≤

1

2π

(

πd+2x

2

)2=

20000

π

，
當(dāng)且僅當(dāng)πd=2x=200，即x=100時等號成立，此時，d=

200

π

；
所以，應(yīng)設(shè)計矩形的長為100m，寬約為63.7m時，矩形面積最大．

點評：本題考查了基本不等式a+b≥2

ab

（其中a＞0，b＞0）的變形應(yīng)用，或者用二次函數(shù)的性質(zhì)解答也可以．