Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足4Sn﹣1=an2+2an ， n∈N* ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn= ，數列{bn}的前n項和為Tn ， 證明： ≤Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，4a1=4S1= +2a1+1，

解得a1=1．

當n≥2時，4Sn=an2+2an+1，4Sn﹣1=an﹣12+2an﹣1+1，

相減得4an=an2+2an﹣（an﹣12+2an﹣1），即an2﹣an﹣12=2（an+an﹣1），

又an＞0，∴an+an﹣1≠0，則an﹣an﹣1=2，

∴數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列，

∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．

（2）解：bn= = = ，

∴數列{bn}的前n項和：

Tn=

= ，

（Tn）min=T1= = ，

∴ ≤Tn＜ ．

【解析】（1）通過4Sn﹣1=an2+2an ， 令n=1可得首項，當n≥2時，利用4an=an2+2an﹣（an﹣12+2an﹣1）可得公差，進而可得結論；（2）由bn= = = ，利用裂項求和法能證明 ≤Tn＜ ．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．