Question

設直線l與球O有且僅有一個公共點P．從直線l出發的兩個半平面截球O的兩個截面圓O₁和圓O₂的半徑分別為3和2，若這兩個半平面α，β所成的二面角為120°．則球O的半徑R=

 

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Answer 1

分析：由已知中直線l與球O有且僅有一個公共點P．從直線l出發的兩個半平面截球O的兩個截面圓O₁和圓O₂的半徑分別為3和2，若這兩個半平面α，β所成的二面角為120°．過P，O₁和O₂作球的截面，則OO₁⊥O₁P，OO₂⊥O₂P，O₁PO₂=120°，O₁P=3，O₂P=2，OP=R，根據兩角和的余弦公式，可以構造一個關于R有方程，解方程即可求出R的值．

解答：解：∵直線l與球O有且僅有一個公共點P，
則直線l與球O相切于點P，
過P，O₁和O₂作球的截面，如下圖所示

則O₁P=3，O₂P=2，OP=R
cos∠O₁PO=

3

R

，sin∠O₁PO=

R2-9

R

cos∠O₂PO=

2

R

，sin∠O₂PO=

R2-4

R

∵∠O₁PO₂=120°
∴cos∠O₁PO₂=cos∠O₁PO•cos∠O₂PO-sin∠O₁PO•sin∠O₂PO=

6- (R2-9)(R2-4)

R2

=-

1

2

解得R=

2 57

3

故答案為：

2 57

3

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角，球的性質，兩角和的三角函數，其中P，O₁和O₂作球的截面，將空間問題轉化為平面問題，是解答本題的關鍵．