Question

設直線l與球O有且僅有一公共點P，從直線l出發的兩個半平面截球O的兩個截面圓O₁和圓O₂的半徑1和2，若這兩個半平面α，β所成二面角為120⁰，則球O的表面積為

112π

3

．

Answer 1

分析：過P與O作直線l的垂面，畫出截面圖形，設出球的半徑，通過解三角形，利用轉化思想求出球的半徑的平方，然后求出球的表面積．

解答：解：過P與O作直線l的垂面，畫出截面圖形，如圖
設球的半徑為r，作OE⊥QP，OF⊥PM，則EP=1，PF=2，
設∠OPE=α，∠OPF=

2π

3

-α，
所以

rcosα

rcos( 2π 3 -α)

=

1

2

，
即sin α=3

3

cosα，sin²α+cos²α=1解得
cos²α=

1

28

所以r²=

28

3

；
所以球的表面積為：4πr²=4π×

28

3

=

112π

3

．
故答案為：

112π

3

．

點評：本題是中檔題，考查二面角的有關知識，考查轉化思想的應用，空間想象能力，計算能力．