Question

設直線l與球O有且僅有一個公共點P．從直線l出發的兩個半平面截球O的兩個截面圓O₁和圓O₂的半徑分別為3和2，若這兩個半平面α，β所成的二面角為120°．則球O的半徑R=    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知中直線l與球O有且僅有一個公共點P．從直線l出發的兩個半平面截球O的兩個截面圓O₁和圓O₂的半徑分別為3和2，若這兩個半平面α，β所成的二面角為120°．過P，O₁和O₂作球的截面，則OO₁⊥O₁P，OO₂⊥O₂P，O₁PO₂=120°，O₁P=3，O₂P=2，OP=R，根據兩角和的余弦公式，可以構造一個關于R有方程，解方程即可求出R的值．
解答：解：∵直線l與球O有且僅有一個公共點P，
則直線l與球O相切于點P，
過P，O₁和O₂作球的截面，如下圖所示

則O₁P=3，O₂P=2，OP=R
cos∠O₁PO=，sin∠O₁PO=
cos∠O₂PO=，sin∠O₂PO=
∵∠O₁PO₂=120°
∴cos∠O₁PO₂=cos∠O₁PO•cos∠O₂PO-sin∠O₁PO•sin∠O₂PO==-
解得R=
故答案為：
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角，球的性質，兩角和的三角函數，其中P，O₁和O₂作球的截面，將空間問題轉化為平面問題，是解答本題的關鍵．