Question

如圖，正四棱錐V-ABCD的高和底面的邊長均相等，E是棱VB的中點．
（1）求證：AC⊥VD；
（2）（文科）求：異面直線CE和VD的夾角大小；
     （理科）求：二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AB，CD交于O，通過證明AC⊥BD，AC⊥VO證得AC⊥面VDB，再證明AC⊥VD
（2）（文科）可知OE∥VD，所以∠CEO （或其補角）即為異面直線CE和VD的夾角．在△CEO 中求解即可．
（理科）由（1）得出AC⊥OE，AC⊥OB，所以∠EOB為二面角E-AC-B的平面角，在△EOH 求解即可
解答：解：（1）證明連接AB，CD交于O
則AC⊥BD，AC⊥VO，且BD∩VO=O，∴AC⊥面VDB，又VD?VDB∴AC⊥VD．
（2）（文科）
∵E是棱VB的中點，所以OE∥VD，∴∠CEO （或其補角）即為異面直線CE和VD的夾角．設高和底面的邊長均為2，則在△VBC中，VC²=VO²+OC²=2²+=6，VC=．
cos∠CVB===，CE²=VC²+VE²-2VC×VE×cos∠CVB=6+ =
在△CEO 中，cos∠CEO===∴∠CEO=arccos．即異面直線CE和VD的夾角大小為arccos．
（理科）
由（1）AC⊥面VDB，，∴AC⊥OE，AC⊥OB，∴∠EOB為二面角E-AC-B的平面角，取BO中點 H，則EH∥VO，EH⊥面ABCD  且 EH=1，
在直角△EOH，tan∠EOB=，，∴∠EOB=arctan，即二面角E-AC-B的大小為arctan．
點評：本小題主要考查空間線面關系、異面直線的夾角、二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力