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(本題滿分14分)如圖,四棱錐中,底面為平行四邊形,底面.

(1)證明:

(2)若,求二面角的余弦值.

 

(1)詳見解析;(2)二面角A-PB-C的余弦值為.

【解析】

試題分析:(1)證明:,證明線線垂直,只需證明一條線垂直過另一條線的平面即可,注意到底面,即,因此可證平面,只需證明,由已知,由余弦定理得,即,故,可證(2)若,求二面角的余弦值,可用向量法,注意到DA,DB,DP三條直線兩兩垂直,故以D為坐標原點,射線DA,DB,DP分別為x,y,z的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz,寫出各點的坐標,分別求出平面PAB與平面PBC的法向量,即可求出二面角的余弦值.

試題解析:(1)證明:因為

由余弦定理得. (2分)

從而,故. (3分)

(4分)

所以平面. (5分)

. (6分)

(2)如圖,以D為坐標原點,射線DA,DB,DP分別為x,y,z的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz, 則

(8分)

設平面PAB的法向量為,[來源:學科則,即

因此可取. (10分)

設平面PBC的法向量為,則

可取 (12分)

,故鈍二面角A-PB-C的余弦值為. (14分)

注:第二問若使用幾何法按找到并證明二面角的平面角得4分,求出二面角的平面角的余弦值得4分.其它方法酌情給分.

考點:線面垂直的性質,二面角.

 

練習冊系列答案
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