Question

設函數的圖像在處取得極值4.

(1)求函數的單調區間；

(2)對于函數，若存在兩個不等正數，當時，函數的值域是，則把區間叫函數的“正保值區間”.問函數是否存在“正保值區間”，若存在，求出所有的“正保值區間”；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）遞增區間是和，遞減區間是；（2）不存在.

【解析】

試題分析：（1）求導，利用極值點的坐標列出方程組，解出，確定函數解析式，再求導，求單調區間；（2）先假設存在“正保值區間”，通過已知條件驗證是否符合題意，排除不符合題意得情況.

試題解析：（1），                   1分

依題意則有：，即  解得 v        3分

∴.令，

由解得或，v                     5分

所以函數的遞增區間是和，遞減區間是        6分

（2）設函數的“正保值區間”是，因為，

故極值點不在區間上；

①若極值點在區間，此時，在此區間上的最大值是4，不可能等于；故在區間上沒有極值點；                 8分

②若在上單調遞增，即或，

則，即，解得或不符合要求；       10分

③若在上單調減，即1<s<t<3，則，

兩式相減并除得：，     ①

兩式相除可得，即，

整理并除以得：， ②

由①、②可得，即是方程的兩根，

即存在，不合要求.                   12分

綜上可得不存在滿足條件的s、t，即函數不存在“正保值區間”。    13分

考點：1.求函數的極值；2.求最值；3.求單調區間.