Question

（2007•崇明縣一模）已知函數f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數，當x∈[-1，0）時，f(x)=ax+

1

x2

．
（1）求函數y=f（x）在（0，1]上的函數解析式；
（2）當a＞-2時，判斷函數y=f（x）在（0，1]上的單調性，并給出說明．

Answer 1

分析：（1）設x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），由x∈[-1，0）時，f(x)=ax+

1

x2

．及函數為偶函數可求；
（2）任取x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂，通過檢驗f（x₁）與f（x₂）的大小可判斷函數的單調性．

解答：解：（1）任取x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），f（-x）=-f（x）（3分）
則f(x)=-f(-x)=ax-

1

x2

．                                   （6分）
（2）函數f（x）在（0，1]上為單調遞增函數．
證明：任取x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂
f(x2)-f(x1)=ax2-

1

x 2 2

-ax1+

1

x 2 2

（2分）
=(x2-x1)(a+

1

x1 x 2 2

+

1

x 2 1 x2

)（4分）
由于由于x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，（5分）

1

x1 x 2 2

＞1，

1

x2 x 2 1

＞1，當a＞-2時，a+

1

x1 x 2 2

+

1

x 2 1 x2

＞0（7分）
所以所以f（x₂）＞f（x₁），即函數f（x）在（0，1]上為單調遞增函數．     （8分）
（只有結論，沒有過程給2分）

點評：本題主要考查了利用偶函數的定義f（-x）=f（x）求解函數的解析式，函數單調性的證明（判斷）其一般步驟：設量，作差，變形，定號，結論．