Question

已知圓的方程是：，其中，且。

(1)求證：取不為1的實數時，上述圓恒過定點；(2)求與圓相切的直線方程；(3)求圓心的軌跡方程。

Answer 1

解：將方程整理得：

令  

  解之得：     ∴定點為(1，1)；-------------------------------------4分

(2)易得已知圓的圓心坐標為，半徑為。

設所求切線方程為，即，

則圓心到直線的距離應等于圓的半徑，即=恒成立。

整理得等式：

恒成立。

比較系數可得：

 解之得，所以，所求的切線方程是。------------9分

(3)圓心坐標為，又設圓心坐標為，則有：

  消去參數得為所求的圓心的軌跡方程。