Question

已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，點是橢圓上一點，且，(為坐標原點).

(Ⅰ)求橢圓的方程；

 (Ⅱ)過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點?若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）見解析.

【解析】（1）由，又，.根據直角三角形的性質得，從而得.（2）寫出動直線的方程為：與橢圓的方程為：  聯立消去，由韋達定理求出設定點M（0，m），根據恒成立.求得m=1.

解：（Ⅰ）因為，所以.   ………………2分

∵，∴⊥，∴；

又∵，∴，

∴.b=1. 因此所求橢圓的方程為：     ………4分

 (Ⅱ)動直線的方程為：

由得

設

則 …………………………………8分

假設在y軸上存在定點M（0，m），滿足題設，則

          ………………………………12分

由假設得對于任意的恒成立，

即 解得m=1.

因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，

點M的坐標為（0，1）.………………………………………………………14分，.