Question

已知橢圓的右準線是x=1，傾斜角為交橢圓于A、B兩點，AB的中點為
（I）求橢圓的方程；
（II）若P、Q是橢圓上滿足，若直線OP、OQ的斜率分別為k_OP，k_OQ，求證：|k_OP•k_OQ|是定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由于直線AB的傾斜角為且過點，可得直線的方程為．代入橢圓方程，整理得，由AB的中點為可得a²=2b²．結合可求a，b，c，進而可求橢圓方程
（II）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在橢圓2x²+4y²=1上，由=，代入可求
解答：解：（I）由于直線AB的傾斜角為且過點，
所以直線的方程為．
代入橢圓方程，整理得，，
即a²=2b²．
又，聯立a²=b²+c²，
求得．
所以橢圓方程為2x²+4y²=1．…（6分）
（II）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在橢圓2x²+4y²=1上，
由==．…（12分）
點評：本題主要考查了利用直線與圓錐曲線的位置關系的性質求解橢圓的方程，解題中要具備較強的計算能力與邏輯推理能力，主要考查了考試的計算能力．