Question

已知向量、、滿足++=0，||=||=||=1．
求證：△P₁P₂P₃是正三角形．

Answer 1

【答案】分析：法一：由=1知O是△P₁P₂P₃的外接圓的圓心，要證△P₁P₂P₃是正三角形，只需證∠P₁OP₂=∠P₂OP₃=∠P₃OP₁即可，即需求，，的夾角，由變形可出現數量積，進而求夾角
法二：用坐標法證明：以O點為坐標原點建立直角坐標系，設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），從而可得，然后由條件可得結合已知條件，用坐標表示
解答：證明：
法一：∵++=0，∴+=-．∴|+|=|-|．
∴||²+||²+2•=||²．
又∵||=||=||=1，
∴•=-．
∴||||cos∠P₁OP₂=-，
即∠P₁OP₂=120°．
同理∠P₁OP₃=∠P₂OP₃=120°．
∴△P₁P₂P₃為等邊三角形．
法二：以O點為坐標原點建立直角坐標系，設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
則=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），=（x₃，y₃）．
由++=0，
得∴，
由||=||=||=1，得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²=x₃²+y₃²=1
∴2+2（x₁x₂+y₁y₂）=1
∴||=
=
==
同理||=，||=
∴△P₁P₂P₃為正三角形
點評：評述：解本題的關鍵是由++=0轉化出現向量的數量積，進而求夾角．可以用向量式表示，也可以用坐標式表示，還考查了考生的推理論證能力．