Question

我們把一系列向量

ai

(i=1，2，…，n)按次序排成一列，稱之為向量列，記作{

an

}．已知向量列{

an

}滿足：

a1

=(1，1)，

an

=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)，．
（1）證明數列{

|an

|}是等比數列；
（2）設θ_n表示向量

an-1

，

an

間的夾角，求證cosθ_n是定值；
（3）若b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim

n→∞

bnSn2的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量模的坐標公式求出

|an

|的模，得到

|an

|與

|an-1

|的關系，利用等比數列的定義得證．
（2）利用向量的坐標形式的數量積公式求出

an-1

，

an

的數量積，利用向量的模、夾角形式的數量積公式求出夾角的余弦．
（3）利用（2）求出夾角，代入b_n=2nθ_n-1，利用等差數列的前n項和公式求出S_n，求出極限值．

解答：解：（1）∵|

a

n|=

1

2

(xn-1-yn-1)2-(xn-1+yn-1)2

=

2

2

x n-1 2 + y n-1 2

=

2

2

|

an-1

|，
∴數列{|

ai

|}是等比數列
（2）∵cosθn=

an-1 ? an

| an-1 |?| an |

=

(xn-1，yn-1)? 1 2 (xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)

2 2 | an-1 |2

=

1 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

2 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

=

2

2

（3）∵θn=

π

4

，
∴bn=

nπ

2

-1，
∴

b

2 n

=

(nπ)2-4nπ+4

4

∴Sn=(

1

2

π-1)+(

2

2

π-1)++(

n

2

π-1)=

π

4

(n2+n)-n
∴

lim

n→∞

b 2 n

Sn

=π

點評：解決向量的夾角問題一般利用向量的數量積公式求出夾角余弦，再利用夾角范圍求出夾角；求數列的前n項和問題，應該先求出數列的通項，據通項的特點選擇求和方法．