Question

已知向量

α

，

β

，

γ

滿足|

α

|=1，|

α

-

β

|=|

β

|，(

α

-

γ

)•(

β

-

γ

)=0．若對每一確定的

β

，|

γ|

的最大值和最小值分別為m，n，則對任意

β

，m-n的最小值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  4

• C、

  3

  4

• D、1

Answer 1

分析：我們分別令|

α

|=1，

OB

=

β

，

OC

=

γ

，根據由已知中，向量

α

，

β

，

γ

滿足|

α

|=1，|

α

-

β

|=|

β

|，(

α

-

γ

)•(

β

-

γ

)=0．可判斷出A，B，C三點的位置關系，及m-n的幾何意義，進而得到答案．

解答：解：∵|

α

|=1，
∴令

OA

=

α

則A必在單位圓上，
又∵又向量

β

滿足|

α

-

β

|=|

β

|，
∴令

OB

=

β

則點B必在線段OA的中垂線上，

OC

=

γ

．
又∵(

α

-

γ

)•(

β

-

γ

)=0
故C點在以線段AB為直徑的圓M上，任取一點C，記

OC

=

γ

．
故m-n就是圓M的直徑|AB|
顯然，當點B在線段OA的中點時，（m-n）取最小值

1

2

即（m-n）_min=

1

2

故選A

點評：本題考查的知識點是兩向量的和與差的模的最值，及向量加減法的幾何意義，其中根據已知條件，判斷出A，B，C三點的位置關系，及m-n的幾何意義，是解答本題的關鍵．