Question

18．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-3n（n∈N₊）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）是否存在常數λ，使得{a_n+λ}為等比數列？若存在，求出λ的值和通項公式a_n，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3，依次計算a₁，a₂，a₃的值；
（2）假設存在常數λ，使得{a_n+λ}為等比數列，則（a₂+λ）²=（a₁+λ）（a₃+λ），從而可求得λ，再利用定義證明等比數列，得出{a_n+λ}的通項公式，從而得出a_n．

解答 解：（1）當n=1時，S₁=a₁=2a₁-3，解得a₁=3，
當n=2時，S₂=a₁+a₂=2a₂-6，解得a₂=9，
當n=3時，S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃-9，解得a₃=21．
（2）假設{a_n+λ}是等比數列，則（a₂+λ）²=（a₁+λ）（a₃+λ），
即（9+λ）²=（3+λ）（21+λ），解得λ=3．
下面證明{a_n+λ}為等比數列：
∵S_n=2a_n-3n，∴S_n+1=2a_n+1-3n-3，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n-3，
即2a_n+3=a_n+1，∴2（a_n+3）=a_n+1+3，
∴$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}$=2，
∴{a_n+3}是首項為a₁+3=6，公比為2的等比數列．
∴a_n+3=6×2^n-1，
∴a_n=6×2^n-1-3．

點評 本題考查了等比數列的性質與判斷，等比數列的通項公式，屬于中檔題．