【題目】已知函數(shù)
(m、n為常數(shù)，e = 2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y = f (x)在點(diǎn)(1，f (1))處的切線方程是
．
(Ⅰ)求m、n的值；
(Ⅱ)求f (x)的最大值；
(Ⅲ)設(shè)
(其中
為f (x)的導(dǎo)函數(shù))，證明：對任意x > 0，都有
．
(注： 
)
【答案】(Ⅰ) n = 2，m = 2 (Ⅱ) 
(Ⅲ)見解析
【解析】試題分析：（1）由切線方程為
得到
，從中可以解出
．（2）函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)
，觀察可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)
時(shí)， 
，所以
；當(dāng)
時(shí)， 
，從而得到函數(shù)的單調(diào)性及其最值．（3）函數(shù)
是一個(gè)較為復(fù)雜的函數(shù)，我們可以把要求證的不等式轉(zhuǎn)化為求證
和
，后兩個(gè)不等式可以通過構(gòu)建新函數(shù)來證明．
解析： （Ⅰ）由
，得
，由已知得
，解得
．又
．
（Ⅱ）解：由(Ⅰ)得： 
，
當(dāng)
時(shí)， 
，所以
；當(dāng)
時(shí)， 
，所以
，∴當(dāng)
時(shí)， 
；當(dāng)
時(shí)， 
， 
的單調(diào)遞增區(qū)間是
，單調(diào)遞減區(qū)間是
， 
時(shí)， 
．
(Ⅲ)證： 
．對任意
， 
等價(jià)于
，令 
，則 
，由 
得： 
，
∴當(dāng) 
時(shí)， 
， 
單調(diào)遞增；
當(dāng)
時(shí)， 
， 
單調(diào)遞減，
所以
的最大值為
，即 
．設(shè)
，則 
，∴當(dāng)
時(shí)， 
單調(diào)遞增， 
，故當(dāng) 
時(shí)， 
，即
， 
，∴對任意
，都有 
．
寒假學(xué)與練系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
）在同一半周期內(nèi)的圖象過點(diǎn)
， 
， 
，其中
為坐標(biāo)原點(diǎn)， 
為函數(shù)
圖象的最高點(diǎn)， 
為函數(shù)
的圖象與
軸的正半軸的交點(diǎn)， 
為等腰直角三角形.
（1）求
的值；
（2）將
繞原點(diǎn)
按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角
，得到
，若點(diǎn)
恰好落在曲線
（
）上（如圖所示），試判斷點(diǎn)
是否也落在曲線
（
）上，并說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】若函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0， 
的部分圖象如圖所示．
（I）設(shè)x∈（0， 
）且f（α）=
，求sin 2a的值；
（II）若x∈[
]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣
）的最大值為
，求實(shí)數(shù)λ的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】選修4-5 不等式選講
已知函數(shù)f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值為m.
(1)求m；
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝2m，求ab＋bc的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】(2016·遼寧五校聯(lián)考)某車間加工零件的數(shù)量x與加工時(shí)間y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：
零件數(shù)x(個(gè)) | 10 | 20 | 30 |
加工時(shí)間y(分鐘) | 21 | 30 | 39 |
現(xiàn)已求得上表數(shù)據(jù)的線性回歸方程
＝
＋
中的
值為0.9，則據(jù)此回歸模型可以預(yù)測，加工100個(gè)零件所需要的加工時(shí)間約為( )
A. 84分鐘 B. 94分鐘
C. 102分鐘 D. 112分鐘
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，無窮數(shù)列
滿足
, 
（Ⅰ）若
，求
， 
， 
；
（Ⅱ）若
，且
， 
， 
成等比數(shù)列，求
的值；
（Ⅲ）是否存在
，使得
成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的
；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是邊長為
的菱形， 
， 
平面
， 
， 
是棱
上的一個(gè)點(diǎn)， 
， 
為
的中點(diǎn).
（1）證明： 
平面
；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
中，側(cè)棱
平面
， 
為等腰直角三角形， 
，且
， 
分別是
的中點(diǎn).
(1)若
是
的中點(diǎn)，求證： 
平面
；
(2)若
是線段
上的任意一點(diǎn)，求直線
與平面
所成角正弦的最大值.
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