Question

用解析法證明：等邊三角形內一點到三邊距離之和為定值．

Answer 1

分析：先設等邊三角形的邊長為2a，以BC所在的直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，可得B（-a，0），C（a，0），
A（0，

3

），即可得到直線AB，直線AC及直線BC的方程，設三角形內任一點P（m，n），利用點到直線的距離公式求出P到三邊的距離之和得到為定值即可．

解答：解：先設等邊三角形的邊長為2a，以BC所在的直線為x軸，
以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，
可得B（-a，0），C（a，0），
A（0，

3

）設三角形內任一點P（m，n），
且直線AB的斜率為k=tan60°=

3

，
所以AB的方程為：y-0=

3

（x+a），化簡得

3

x-y+

3

a=0；
直線BC的方程為y=0；直線AC的斜率為k′=tan120°=-

3

，
所以直線AC的方程為：y-0=-

3

（x-a），
化簡得：

3

x+y-

3

a=0；
所以利用點到直線的距離公式得到P到三邊的距離和=PE+PF+PD=|

3 m-n+ 3 a

2

|+|

3 m+n- 3 a

2

|+|n|=

3

a，
故得證．

點評：考查學生靈活運用點到直線的距離公式的能力，以及會求直線解析式的能力．