Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，2sin2

A+B

2

=1-cos2C，a+b=5，c=

7

．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的內角和以及二倍角的余弦函數，轉化已知等式為C的余弦函數值，即可求角C的大小；
（2）利用余弦定理以及已知條件求出ab的值，然后利用三角形的面積公式，即可求△ABC的面積．

解答：解：（1）由2sin2

A+B

2

=1-cos2C，得2cos2

C

2

=1-cos2C，
所以2

1+cosC

2

=(2-2cos2C)
整理，得2cos²C+cosC-1=0------------------------------------------（4分）
解得：cosC=

1

2

，cosC=-1（舍去）
∴C=60°--------------------------------------------------------（7分）
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即7=a²+b²-ab---------①
又a+b=5，∴a²+b²+2ab=25---------------------------------②，
①②聯立解得，ab=6--------------------------------------------（12分）
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

---------------------------------（14分）

點評：本題考查二倍角的余弦函數的應用余弦定理以及三角形的面積公式的應用，考查計算能力．