Question

下列敘述：
①函數y=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數；
②已知集合P={a，b}，Q={-1，0.1}，則映射f：P→Q中滿足f（b）=0的映射共有3個；
③對于函數f（x）=-x²+1，當x₁≠x₂時，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)；
④若函數f（x）=

(2-m)x+ 1 2 (x＜1) mx(x≥1)

在R上是增函數，則m的取值范圍是1＜m＜2；
其中正確的所有番號是：

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：舉例說明①錯誤；由映射概念說明②正確；f（x）=-x²+1，x₁≠x₂，利用作差法能夠比較

f(x1)+f(x2)

2

和f（

x1+x2

2

）的大小說明③正確；由增函數的概念列不等式組求解m的范圍說明④錯誤．

解答： 解：①函數y=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數錯誤，如1＞-1，f（1）＞f（-1）；
②已知集合P={a，b}，Q={-1，0.1}，則映射f：P→Q中滿足f（b）=0的映射共有3個正確，原因是f（b）=0一定，而f（a）可以對應-1、0、1有三種對應法；
③對于函數f（x）=-x²+1，當x₁≠x₂時，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)正確．
∵f（x）=-x²+1，x₁≠x₂，
∴

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）=

-x12+1-x22+1

2

-[-(

x1+x2

2

)2+1]=

x12+2x1x2+x22

4

-

x12+x22

2

＜0，
∴

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

），故③正確；
④若函數f（x）=

(2-m)x+ 1 2 (x＜1) mx(x≥1)

在R上是增函數，則

2-m＞0 m＞1 m≥2-m+ 1 2

，解得

5

4

≤m＜2，命題④錯誤．
故答案為：②③．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數的性質及其應用，是中檔題．