Question

如圖，ABCD與ABEF是全等的直角梯形，AB⊥AD，底面四邊形ADGF為菱形，二面角D-AB-F=1200，AD=2BC=4，AB=2，
（1）求證：FD⊥BG
（2）求證：CE∥DF
（3）求點A到面CEG的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AB⊥平面ADGF，AB⊥FD，又FD⊥AG，由此能證明FD⊥BG．
（2）取AD、AF的中點M，N，連結CM、MN、NE，由已知得MCEN是平行四邊形，由此能證明CE∥DF．
（3）取CE中點K，連結BK，GK，過點A作AH⊥GK，則HA是點A到面CEG的距離，由此能求出點A到面CEG的距離．

解答： （1）證明：∵AB⊥AD，AB⊥AF，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADGF，AB⊥FD，又FD⊥AG，
∴FD⊥面ABG，∴FD⊥BG．
（2）證明：取AD、AF的中點M，N，連結CM、MN、NE，
CM∥AB∥NE，∴MCEN是平行四邊形，
∴CE∥MN，而MN∥DF，
∴CE∥DF．
（3）解：如圖，取CE中點K，連結BK，GK，
過點A作AH⊥GK，
由（1）可證CE∥DF，DF⊥平面ABKG，
∴CE⊥面ABKG，∴CE⊥HA，HA⊥面CEG，
∴HA是點A到面CEG的距離，
∵二面角D-AB-F=120°，AD=2BC=4，AB=2，
∴BK=1，AG=2，GK=

5

，
∵

1

2

GK•AH=

1

2

GA•AB，
∴HA=

GA•AB

GK

=

2×2

5

=

4 5

5

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與直線平行的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．