Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+ae^x，其中a為實常數(shù)．
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論f（x）在定義域R上的極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）先求導，再根據(jù)a經(jīng)行分類，當a≥0時，當a＜0時，再利用導數(shù)和極值的關(guān)系即可求出

解答： 解：（1）當a=-1時，f（x）=x-e^x，
∴f′（x）=1-e^x，
令f′（x）=0，解得x=0，
當f′（x）＞0，得到x＜0，
當f′（x）＜0，得到x＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（2）∵f′（x）=1+ae^x，
①當a≥0時，f′（x）＞0恒成立，
函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，無極值，
②當a＜0時，
令f′（x）=0，解得x=ln（-

1

a

），
當f′（x）＞0，得到x＜ln（-

1

a

），f（x）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0，得到x＞ln（-

1

a

），f（x）單調(diào)遞減，
∴當x=ln（-

1

a

）時，函數(shù)有極大值，且為ln（-

1

a

）-1，無極小值
綜上所述，當a≥0時，無極值，當a＜0時，當x=ln（-

1

a

）時，函數(shù)有極大值，且為ln（-

1

a

）-1，無極小值

點評：本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以及極值的關(guān)系，培養(yǎng)了學生的分類討論的能力，屬于中檔題