Question

6．已知0＜a＜1＜b，函數f（x）=lg（ba^x-ab^x）定義域為（-1，1），值域為（-∞，0），則a（b-$\frac{3}{2}$）的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$，0）
• B． （$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$，$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$）
• C． [$\frac{9-9\sqrt{5}}{32}$，$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$）
• D． [$\frac{9-9\sqrt{5}}{32}$，0）

Answer 1

分析 由題意，x∈（-1，1）時，0＜ba^x-ab^x＜1，⇒0＜a^x-1-b^x-1＜$\frac{1}{ab}$⇒a^-2-b^-2=$\frac{1}{ab}$，⇒b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}a$，a（b-$\frac{3}{2}$）=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a…（0＜a＜1）$，由二次函數的單調性可得f（a）的范圍．

解答 解：由題意，x∈（-1，1），0＜ba^x-ab^x＜1，
∴0＜a^x-1-b^x-1＜$\frac{1}{ab}$，
∵0＜a＜1＜b，∴y=a^x-1-b^x-1在（-1，1）上單調遞減，
∴a^-2-b^-2=$\frac{1}{ab}$，
∴b²-ab-a²=0⇒b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}a$，
則f（a）=a（b-$\frac{3}{2}$）=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a…（0＜a＜1）$
由二次函數的單調性可得$\frac{9-9\sqrt{5}}{32}$≤f（a）＜$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$．
故選：C．

點評 本體考查了復合函數的值域及二次函數的性質，轉化思想是關鍵，屬于難題．