Question

設直線y=ax（a＜1）與拋物線y=x²所圍成的圖形面積為S，它們與直線x=1圍成的面積為T，若U=S+T達到最小值，求a值；并求此時平面圖形繞x軸一周所得旋轉體的體積．

Answer 1

分析：對a分0＜a＜1，a＜0兩種情況，利用定積分求出U關于a的函數關系式，再利用導數求最值．

解答：解：

(1)當0＜a＜1時，如圖1 由 y=ax y=x2 得交點(0，0)和(a，a2)，S= ∫ a 0 (ax-x2)dx=( ax2 2 - x3 3 )|_a= a3 2 - a3 3 = a3 6

T= ∫ 1 a (x2-ax)dx=( x3 3 - ax2 2 )|_1=( 1 3 - a 2 )-( a3 3 - a3 2 )= 1 3 - a 2 + a3 6 ∴U=S+T= a3 3 - a 2 + 1 3 U′=a2- 1 2 ．令U′=0，得a= 2 2 .

當a∈(0，

2

2

)時，U′＜0，當a∈(

2

2

，1)時，U′＞0故，當a=

2

2

時，U最小值為

2- 2

6

．

(2)當a＜0時，如圖2 由 y=ax y=x2 得交點(0，0)和(a，a2)，S= ∫ 0 a (ax-x2)dx=( ax2 2 - x3 3 )|_0=- a3 2 + a3 3 =- a3 6 T= ∫ 1 0 (x2-ax)dx=( x3 3 - ax2 2 )|_1=( 1 3 - a 2 )= 1 3 - a 2 ∴U=S+T=- a3 6 - a 2 + 1 3 . U′=- a2 3 - 1 2 ＜0 所以函數U(a)在(-∞，0)上單調遞減

此時無最小值．
綜上所述，a=

2

2

時，u_min=

2- 2

6

點評：本題考查利用定積分求曲邊多邊形的面積，考查轉化計算、數形結合、分類與整合的思想與能力．