Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=x²+2x，若存在實數a，b（0＜a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域是[

1

b

，

1

a

]．則b-a的最小值是（　　）

• A、

  1- 5

  2

• B、

  5 -1

  2

• C、

  -3+ 5

  2

• D、

  3+ 5

  2

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：先由奇函數的性質和題意，求得x＞0時f（x）的解析式，對于正實數a、b，分三種情況討論：①、當a＜1＜b時，②、當a＜b＜1時，③、當1≤a＜b時，結合二次函數的性質，分析可得a、b的值，將其相減可得答案．

解答： 解：設x＞0，則-x＜0，
代入當x＜0時f（x）=x²+2x，得f（-x）=-2x+x²，
又y=f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（-x）=-f（x），
則x＞0時，f（x）=2x-x²，且對稱軸x=1，
所以，對于a、b分三種情況討論：
①、當0＜a＜1＜b時，f（x）=2x-x²的最大值為1，得

1

a

=1，
即a=1，不合題意，舍去，
②、當0＜a＜b＜1時，f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上單調增，
而

1

a

＞1，不合題意，舍去，
③、當1≤a＜b時，f（x）在[a，b]上單調減，
可得

f(a)= 1 a f(b)= 1 b

，解得a=1，b=

1+ 5

2

，
則b-a=

5 -1

2

，
故選：B．

點評：本題考查了函數的奇偶性與單調性，函數的解析式求法，二次函數的性質，考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．