Question

已知圓C:(x-1)²+y²=r²(r＞1)，設(shè)M為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓C的弦MN，并使它的中點(diǎn)P恰好落在y軸上.

（1）當(dāng)r∈(1,+∞)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡E的方程；

（2）若A(x₁,2)、B(x₂,y₂)、C(x₀,y₀)是E上不同的點(diǎn)，且AB⊥BC，求y₀的取值范圍.

Answer 1

解：(1)由條件知：M(-r+1,0),設(shè)P(0,b),N(x,y),則x=r-1.

所以(r-1-1)²+y²=r²,即y²=4r-4=4x.

所以點(diǎn)N的軌跡方程為y²=4x.

(2)由(1)知A(1，2)，B(,y₂),C(,y₀),y₀≠2,y₀≠y₂，

則=(,y₂-2),=(,y₀-y₂).

又因?yàn)锳B⊥BC,所以AB·BC=0,

×+(y₂-2)(y₀-y₂)=0，

整理得y₂²+(y₀+2)y₂+16+2y₀=0，則此方程有解，

所以Δ=(y₀+2)²-4×(16+2y₀)≥0,解得y₀≤-6或y₀≥10，

當(dāng)y₀=-6時(shí)，B(4，2)，C(9，-6)，故符合條件;

當(dāng)y₀=10時(shí)，B(9，-6)，C(25，10)，故符合條件.

所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y₀的取值范圍是(-∞,-6］∪［10,+∞).