Question

5．已知數列{a_n}的前n項和${A_n}={n^2}（{n∈{N^*}}），{b_n}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}+\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}（{n∈{N^*}}）$，數列{b_n}的前n項和為B_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設${c_n}=\frac{a_n}{2^n}（{n∈{N^*}}）$，求數列{c_n}的前n項和C_n；
（3）證明：$2n＜{B_n}＜2n+2（{n∈{N^*}}）$．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，利用a_n=A_n-A_n-1可得a_n=2n-1，再驗證n=1的情況，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由題意知：${c_n}=\frac{a_n}{2^n}=\frac{2n-1}{2^n}$，利用錯位相減法即可求得數列{c_n}的前n項和C_n；
（3）利用基本不等式可得${b_n}=\frac{2n-1}{2n+1}+\frac{2n+1}{2n-1}$＞$2\sqrt{\frac{2n-1}{2n+1}•\frac{2n+1}{2n-1}}=2$，可得B_n=b₁+b₂+…+b_n＞2n；再由b_n=$\frac{2n-1}{2n+1}+\frac{2n+1}{2n-1}=1-\frac{2}{2n+1}+1+\frac{2}{2n-1}=2+\frac{2}{2n-1}-\frac{2}{2n+1}$，累加可${B_n}=（2+\frac{2}{1}-\frac{2}{3}）+（2+\frac{2}{3}-\frac{2}{5}）+…+（2+\frac{2}{2n-1}-\frac{2}{2n+1}）=2n+2-\frac{2}{2n+1}＜2n+2$，
于是可證明：$2n＜{B_n}＜2n+2（{n∈{N^*}}）$．

解答 （本小題滿分13分）
解：（ I）當n≥2時，${A_n}={n^2}$，${A_{n-1}}={（n-1）^2}$，
兩式相減：a_n=A_n-A_n-1=2n-1；
當n=1時，a₁=A₁=1，也適合a_n=2n-1，
故數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1；．…（3分）
（ II）由題意知：${c_n}=\frac{a_n}{2^n}=\frac{2n-1}{2^n}$，C_n=c₁+c₂+…+c_n，
${C_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$，$\frac{C_n}{2}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式相減可得：$\frac{C_n}{2}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+…+\frac{2}{2^n}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，…（4分）
即$\frac{C_n}{2}=\frac{1}{2}+（\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，$\frac{C_n}{2}=\frac{1}{2}+（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，${C_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$．…（7分）
（ III）${b_n}=\frac{2n-1}{2n+1}+\frac{2n+1}{2n-1}$，顯然$\frac{2n-1}{2n+1}+\frac{2n+1}{2n-1}＞2\sqrt{\frac{2n-1}{2n+1}•\frac{2n+1}{2n-1}}=2$，
即b_n＞2，B_n=b₁+b₂+…+b_n＞2n；           …（9分）
另一方面，$\frac{2n-1}{2n+1}+\frac{2n+1}{2n-1}=1-\frac{2}{2n+1}+1+\frac{2}{2n-1}=2+\frac{2}{2n-1}-\frac{2}{2n+1}$，
即${b_1}=2+\frac{2}{1}-\frac{2}{3}$，${b_2}=2+\frac{2}{3}-\frac{2}{5}$，…，${b_n}=2+2（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，${B_n}=（2+\frac{2}{1}-\frac{2}{3}）+（2+\frac{2}{3}-\frac{2}{5}）+…+（2+\frac{2}{2n-1}-\frac{2}{2n+1}）=2n+2-\frac{2}{2n+1}＜2n+2$，
即：2n＜B_n＜2n+2．…（13分）

點評 本題考查數列遞推式的應用，突出考查錯位相減法求和與累加法求和的綜合運用，考查推理與運算能力，屬于難題．