Question

已知圓O的半徑為1，圓心為（2，3），P為x軸上的動點，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點，則

PA

•

PB

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據題意可得，當點P的坐標為（2，0）時，

PA

•

PB

最小，利用兩個向量的數量積的定義求得其最小值．

解答：解：要使

PA

•

PB

最小，需使PA、PB的長度最短，求角APB最大．故當圓心C（2，3）到P的距離最小時，

PA

•

PB

最小．
當PA最小時，點P的坐標為（2，0），PA=

PC2-R2

=

9-1

=2

2

，sin∠CPA=

CA

CP

=

1

3

，
∴cos∠APB=1-2sin²∠CPA=1-2×

1

9

=

7

9

，
∴

PA

•

PB

=2

2

×2

2

×

7

9

=

56

9

，
故答案為

56

9

．

點評：本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，兩個向量的數量積的定義，求出點P的坐標是解題的關鍵．