Question

已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么

PA

•

PB

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：利用圓切線的性質：與圓心切點連線垂直；設出一個角，通過解直角三角形求出PA，PB的長；利用向量的數量積公式表示出

PA

•

PB

；利用三角函數的二倍角公式化簡函數，通過換元，再利用基本不等式求出最值．

解答：解：設PA與PO的夾角為a，則|PA|=|PB|=

1

tanα

y=

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos2α
=

1

(tanα)2

•cos2α=

cos2α

sin2α

•cos2α
=

1+cos2α

1-cos2α

•cos2α
記cos2a=u．則y=

u(u+1)

1-u

=(-u-2)+

2

1-u

=-3+(1-u)+

2

1-u

≥-3+2

2

即

PA

•

PB

的最小值為-3+2

2

故答案為：-3+2

2

點評：本題考查圓切線的性質、三角函數的二倍角公式、向量的數量積公式、基本不等式求函數的最值．