Question

已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點，則

PA

•

PB

取得最小值時的OP的值為（　�。�

• A．

  3	2

• B．

  4	2

• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：設

PA

與

PO

的夾角為α，將

PA

•

PB

表示成關于tanα的分式函數，令tan²α=x，得

PA

•

PB

=

1-x

x2+x

（x＞0），利用導數研究它的單調性，可得當x=1+

2

時，即tan²α=1+

2

時，

PA

•

PB

有最小值，由此即可算出|

PA

|²=-1+

2

，由勾股定理可算出此時OP的長，從而得到本題答案．

解答：解：設

PA

與

PO

的夾角為α，則|

PA

|=|

PB

|=

1

tanα

∴

PA

•

PB

=

|PA|

•

|PB|

|cos2α|
=

1

tan2α

•cos2α=

1

tan2α

•

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2α

tan2α+tan4α

令tan²α=x，得

PA

•

PB

=

1-x

x2+x

（x＞0）
∵f（x）=

1-x

x2+x

的導數f'（x）=

-(x2+x)-(1-x)(2x+1)

(x2+x)2

=

x2-2x-1

(x2+x)2

∴0＜x＜1+

2

時，f'（x）＜0；x＞1+

2

時，f'（x）＞0
可得f（x）在區間（0，1+

2

）上是減函數，在區間（1+

2

，+∞）上是增函數
∴當x=1+

2

時，即tan²α=1+

2

時，

PA

•

PB

有最小值f（1+

2

）=-3+2

2

此時，|

PA

|²=

1

tan2α

=-1+

2

，可得|OP|=

|OA|2+|PA|2

=

1+(-1+ 2 )

= 4

2

故選：B

點評：本題給出圓外一點P，由P引圓的兩條切線，求向量數量積的最小值，著重考查了直線與圓的位置關系、利用導數研究函數的單調性和平面向量數量積的運算等知識，屬于中檔題．