Question

【題目】已知拋物線上一點到其焦點的距離為，以為圓心且與拋物線準線相切的圓恰好過原點.點是與軸的交點， 兩點在拋物線上且直線過點，過點及的直線交拋物線于點.

（1）求拋物線的方程；

（2）求證：直線過一定點，并求出該點坐標.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)直線過定點，證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，則為等腰三角形.過作軸于，則，據此可得拋物線的方程為.

(2)設的方程為，聯立直線方程與拋物線方程可得.結合韋達定理有.直線的方程為.可得，則直線過定點.

試題解析：

（1）∵上一點到其焦點的距離為，∴，

∵以為圓心且與拋物線準線相切的圓恰好過原點，∴，即為等腰三角形.

過作軸于，則，∴得，

∴拋物線的方程為.

（2）證明：設的方程為，代入拋物線的方程，可得.

設， ， ，則，

由，

直線的方程為，∴，

可得，∴，

∴.①

直線的方程為.

可得，②

由①②可得， ，∴直線過定點.