Question

如圖所示，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點E在CC₁上且C₁E=3EC
（1）求異面直線BE、AB₁所成的角的大小；
（2）求A₁到截面BDE的距離；
（3）求二面角A₁-DE-B的大小．

Answer 1

分析：以DA，DC，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz．
（1）先求得

BE

=(-2，0，1)，

AB1

=(0，2，4)，利用向量的夾角求異面直線BE、AB₁所成的角．
（2）根據空間直角坐標系個點坐標，即向量垂直計算，可得A₁C⊥BD，A₁C⊥DE又DB∩DE=D即可得A₁C⊥平面DBE
，再利用等體積可求．
（3）由（2）知向量

A1C

為平面DBE的一個法向量，根據向量坐標計算，即可得到二面角A₁-DE-B的余弦值．

解答：解：以DA，DC，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz．
則D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4），A（2，0，0），B₁（2，2，4），

DE

=(0，2，1)，

DB

=(2，2，0)，

A1C

=(-2，2，-4)，

DA1

=(2，0，4)
（1）

BE

=(-2，0，1)，

AB1

=(0，2，4)
設異面直線BE、AB₁所成的角的大小為α，則cosα=

4

5 ×2 5

=

2

5

，
∴α=arccos

2

5

（2）證明：∵

A1C

•

DB

=-4+4+0=0，

A1C

•

DE

=0+4-4=0，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥DE
又DB∩DE=D，∴A₁C⊥平面DBE
設C到截面BDE的距離為h，則有
∵V_C-BDE=V_E-BCD，∴h=

6

6

∵A1C=2

6

∴A₁到截面BDE的距離為

11 6

6

；
（3）由（2）知向量

A1C

為平面DBE的一個法向量
設平面DA₁E的法向量n=（x，y，z）
由 n⊥

DE

，n⊥

DA1

得2y+z=0，2x+4z=0
令z=-2，得x=4，y=1，
∴n=（4，1，-2）
又二面角A₁-DE-B為銳角
∴二面角A₁-DE-B的余弦值為

14

42

點評：本題以正四棱柱為載體，考查線線角，面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，計算要小心．