Question

設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x．
（Ⅰ）求f（π）的值；
（Ⅱ）作出當(dāng)-4≤x≤4時(shí)函數(shù)f（x）的圖象，并求它與x軸所圍成圖形的面積；
（Ⅲ）直接寫出函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用f（x+2）=-f（x）得f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，從而可求f（π）的值；
（2）當(dāng)-4≤x≤4時(shí)，確定函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，可得f（x）的圖象，從而可求圖象與x軸所圍成圖形的面積；
（3）根據(jù)周期性，結(jié)合函數(shù)的通項(xiàng)，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）由f（x+2）=-f（x）得，f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
∴f（π）=f（-1×4+π）=f（π-4）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4．
（2）由f（x）是奇函數(shù)與f（x+2）=-f（x），得：f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）]，
即f（1+x）=f（1-x）．
故知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
又0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，且f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，則f（x）的圖象如圖所示．

當(dāng)-4≤x≤4時(shí)，f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，
則S=4S_△OAB=4×

1

2

×2×1=4，
（3）由圖得，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k-1，4k+1]（k∈Z），
單調(diào)遞減區(qū)間[4k+1，4k+3]（k∈Z）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生作圖能力和分析解決問題的能力，屬于中檔題．