Question

設f（x）是R上的奇函數，且y=f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=

0

．

Answer 1

分析：由函數是定義在實數上的奇函數，所以有f（0）=0，再由y=f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱，
得：f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)，把x替換后可求f（1）的值，且能夠求出函數f（x）的周期，利用周期性求當x取2，3，4，5時的函數值．

解答：解：由y=f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱，得：f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)    ①，
取x=

1

2

，得：f（1）=f（0），因為f（x）是R上的奇函數，所以f（0）=0，則f（1）=0，
再取x=

1

2

+x，代入①得：f（1+x）=f（-x）=-f（x），所以f（2+x）=-f（1+x）=-[-f（x）]=f（x），
所以F（2）=f（0）=0，f（3）=f（1）=0，f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0．
故答案為0．

點評：本題考查了函數奇偶性的性質，考查了函數的對稱性和周期性，由對稱性得到f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x) 后，靈活對x取值是解答此題的關鍵，此題是中檔題．