Question

【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與點構成正三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)若過點的直線與橢圓交于不同的兩點，試問在軸上是否存在定點，使恒為定值？若存在，求出的坐標，并求出這個定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點，使為定值.

【解析】試題分析：（1）求出拋物線的焦點坐標，可得，再求出的值，即可求橢圓的方程；（2）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量的數量積公式，即可求得結論.

試題解析：(1)由題意，知拋物線的焦點為，所以，因為橢圓短軸的兩個端點與構成正三角形，所以，可求得，故橢圓的方程為.

(2)假設存在滿足條件的點，當直線的斜率存在時設其斜率為k，則的方程為，由，得，設，，易得：，，則，，所以 要使為定值，令，即，此時.

當直線l的斜率不存在時，不妨取，由，可得，，所以，綜上，存在點，使為定值.