Question

定義在R上的函數f（x）既是偶函數又是周期函數，若f（x）的最小正周期是π，且當時，f（x）=sinx

（1）求當x∈[﹣π，0]時f（x）的解析式

（2）畫出函數f（x）在[﹣π，π]上的函數簡圖

（3）求當時，x的取值范圍．

Answer 1

考點：

函數解析式的求解及常用方法；函數奇偶性的判斷；三角函數的周期性及其求法；正弦函數的圖象．

專題：

三角函數的圖像與性質．

分析：

（1）首先取x，得到，把﹣x代入時的解析式，結合偶函數的概念可求得

x時的解析式，然后再取x，加π后得到x+π∈，代入時的解析式，

結合周期函數的概念求解f（x）；

（2）作出函數在[﹣π，0]上的圖象，根據偶函數圖象關于y軸軸對稱得到函數在[0，π]上的圖象；

（3）先求出[﹣π，0]上滿足的x的取值范圍，根據函數是以π為周期的周期函數，把得到的區間端點值加上π的整數倍得到要求解的區間．

解答：

（1）因為f（x）是偶函數，所以f（﹣x）=f（x）

而當x∈時，f（x）=sinx，所以x時，，

f（x）=f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx．

又當x時，x+π∈，

因為f（x）的周期為π，所以f（x）=f（π+x）=sin（π+x）=﹣sinx．

所以當x∈[﹣π，0]時f（x）=﹣sinx．

（2）函數圖象如圖，

（3）由于f（x）的最小正周期為π，

因此先在[﹣π，0]上來研究，即．

所以．所以，．

由周期性知，當時，（k∈Z）．

所以，當時，x的取值范圍是（k∈Z）．

點評：

本題考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了三角函數的周期及圖象，考查了三角函數的奇偶性，解答此題的關鍵是，通過周期變換和平移變換、把要求解解析式的范圍內的變量轉化到已知解析式的范圍內，此題是中檔題．