Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，，分別為左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且的周長為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的直線交橢圓于不同兩點，.為橢圓上一點，且滿足（為坐標原點），當時，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1的周長為可得，由離心率，結合性質可得，，從而可得橢圓的方程是；（2）的方程為，

由，整理得.根據判別式大于零得，由 ，求出代入橢圓方程化簡得，再利用弦長公式及可得，綜上可得結果.

試題解析：（1）∵，∴.

又∵，∴，∴，∴橢圓的方程是.

（2）設，，，的方程為，

由，整理得.

由，得.

∵，，

∴ ，

則， .

由點在橢圓上，得，化簡得. ①

又由，即，

將，代入得，

化簡，得，則，，∴. ②

由①，得，聯立②，解得.

∴或，即.