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已知函數f（x）在其定義域M內為減函數，且f（x）＞0，證明g（x）=1+
2f(x)
在M內為增函數．
分析：已知函數f（x）在其定義域M內為減函數，可知對任意的x1＜x2，f（x1）＞f（x2），則可知
1
f(x1)
＜
1
f(x2)
，進而判斷函數g（x）的單調性．
解答：解：已知函數f（x）在其定義域M內為減函數，
可知對任意的x1＜x2，
有f（x1）＞f（x2），（5分0
又f（x）＞0，
則可知
1
f(x1)
＜
1
f(x2)
，（7分）
則對任意的x1＜x2，
有 g(x1) -g(x2)=
2
f(x1)
-
2
f(x2)
＜0，（10分）
故g（x）=1+
2
f(x)
在M內為增函數．（12分）
點評：此題主要考查函數單調性的證明．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）在其定義域上滿足：xf（x）+2af（x）=x+a-1，a＞0．
①函數y=f（x）的圖象是否是中學對稱圖形？若是，請指出其對稱中心（不證明）；
②當f（x）∈[
1
2
，
4
5
]時，求x的取值范圍；
③若f（0）=0，數列{an}滿足a1=1，那么若0＜an+1≤f（an）正整數N滿足n＞N時，對所有適合上述條件的數列{an}，an＜
1
10
恒成立，求最小的N．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）在其定義域上滿足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函數y=f（x）的圖象是否是中心對稱圖形？若是，請指出其對稱中心（不證明）；
（2）當f(x)∈[
1
2
，
4
5
]時，求x的取值范圍；
（3）若f（0）=0，數列{an}滿足a1=1，那么：
①若0＜an+1≤f（an），正整數N滿足n＞N時，對所有適合上述條件的數列{an}，an＜
1
10
恒成立，求最小的N；
②若an+1=f（an），求證：a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＜
3
7
．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f（x）在其定義域M內為減函數，且f（x）＞0，證明g（x）=1+數學公式在M內為增函數．

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年四川省南充一中高三（下）6月適應性考試數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）在其定義域上滿足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函數y=f（x）的圖象是否是中心對稱圖形？若是，請指出其對稱中心（不證明）；
（2）當時，求x的取值范圍；
（3）若f（0）=0，數列{an}滿足a1=1，那么：
①若0＜an+1≤f（an），正整數N滿足n＞N時，對所有適合上述條件的數列{an}，恒成立，求最小的N；
②若an+1=f（an），求證：．

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