Question

已知函數f（x）在其定義域上滿足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函數y=f（x）的圖象是否是中心對稱圖形？若是，請指出其對稱中心（不證明）；
（2）當時，求x的取值范圍；
（3）若f（0）=0，數列{a_n}滿足a₁=1，那么：
①若0＜a_n+1≤f（a_n），正整數N滿足n＞N時，對所有適合上述條件的數列{a_n}，恒成立，求最小的N；
②若a_n+1=f（a_n），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意有（x+2a）f（x）=x+a-1．若x=-2a，得a=-1，這與a＞0矛盾，故x≠-2a，所以，由此知y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，并能求出其對稱中心．
（2）由，知，由a＞0，能求出x的取值范圍．
（3）①由f（0）=0得a=1，故．由，得．令，則b_n+1≥2b_n，由此能求推導出滿足題設要求的最小正整數．
②由，知，，，故當n=1，2時，不等式成立．當n≥2時，由，能夠證明．
解答：解：（1）依題意有（x+2a）f（x）=x+a-1．
若x=-2a，則x+a-1=-a-1=0，得a=-1，這與a＞0矛盾，
∴x≠-2a，
∴，
故y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心為點（-2a，1）．
（2）∵，
∴即
又∵a＞0，∴
得x∈[2，3a+5]．
（3）①由f（0）=0得a=1，
∴．
由得，
即．
令，則b_n+1≥2b_n，
又∵a_n＞0，∴b_n＞0，∴．
∵a₁=1，∴b₁=2，
∴當n≥2時，．
又∵b₁=2也符合b_n≥2ⁿ，
∴b_n≥2ⁿ（n∈N^*），即，
得．
要使恒成立，
只需，即2ⁿ＞11，
∴n＞3．故滿足題設要求的最小正整數N=3．
②由①知，
∴，
，
，
∴當n=1，2時，不等式成立．
當n≥2時，
∵，
∴，
∴
=．
點評：本題考查數列和不等式的綜合應用，考查數列的性質和應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對計算能力的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．