Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+

1

a

)x2+x(a＞0)，則f（x）在點（1，f（1））處切線斜率最大時的切線方程為

y=

1

3

．

Answer 1

分析：先對函數f（x）進行求導，然后求出導函數的最大值，其最大值即為斜率最大的切線方程的斜率，進而可求得切點的坐標，最后根據點斜式可得到切線方程．

解答：解：∵f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+

1

a

)x2+x(a＞0)，
∴f'（x）=x²-（a+

1

a

）x+1，
∴當x=1時，f'（1）=1²-（a+

1

a

）+1=2-（a+

1

a

）≤2-2

a• 1 a

=0，
∴當a=1時，f'（1）取到最大值0，
∴f（x）=x³+3x²+6x-10的切線中，斜率最小的切線方程的斜率為3，此時a=1，
即f（x）在點（1，f（1））處切線斜率最大為0，
∵切點坐標為（1，

1

3

）
∴切線方程為：y-

1

3

=0（x-1），即y=

1

3

．
故答案為：y=

1

3

．

點評：本題主要考查導數的幾何意義和導數的運算．導數的幾何意義是函數在某點的導數值等于過該點的切線的斜率的值．