Question

（本小題滿分13分）已知函數為自然對數的底數）

（1）求函數的最小值；

（2）若≥0對任意的x∈R恒成立，求實數a的值；

（3）在（2）的條件下，證明：

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）求導，討論函數的單調性，可求函數的最小值；

（2）問題即為對任意的恒成立，即在上，.，設，即解討論函數的單調性，可得

（3）（2）得，即，當且僅當時，等號成立，令

則，即，所以，累加即可得證

試題解析：（1）由題意，

由得.

當時， ;當時，.

∴在單調遞減，在單調遞增

即在處取得極小值，且為最小值，

其最小值為

（2）對任意的恒成立，即在上，.

由（1），設，所以.

由得.

易知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

∴ 在處取得最大值，而.

因此的解為，∴

（3）由（2）得，即，當且僅當時，等號成立，令

則，即，所以

累加得

考點：利用導數研究函數的性質，利用導數證明有關命題