已知數列
中，
，
，若數列
滿足
.
（Ⅰ）證明：數列是等差數列，并寫出的通項公式；
（Ⅱ）求數列的通項公式及數列中的最大項與最小項.
（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）
，最大項為
，最小項為
.
【解析】
試題分析：(Ⅰ)首先通過已知條件
化簡變形，湊出
這種形式，湊出
常數，
就可以證明數列
是等差數列，并利用等差數列的通項公式求出通項公式；（Ⅱ）因為
與
有關，所以利用的通項公式求出數列
的通項公式，把通項公式看成函數，利用函數圖像求最大值和最小值.
試題解析：（Ⅰ）∵，∴
，∴
，
∴
，∴數列是以1為公差的等差數列.
4分
∵，∴
，又∵
，
，
∴是以
為首項，
為公差的等差中項.
∴
，
.
7分
（Ⅱ）∵
，，.
∴作函數
的圖像如圖所示：
∴由圖知，在數列中，最大項為，最小項為.
13分
另解：
，當
時，數列是遞減數列，且
.
列舉
；
；
.所以在數列中，最大項為，最小項為.
考點：1.等差數列的證明方法；2.利用函數圖像求數列的最值.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
定義：若數列
滿足
，則稱數列為“平方遞推數列”。已知數列
中，
，點
在函數
的圖像上，其中
為正整數。
（1）證明：數列
是“平方遞推數列”，且數列
為等比數列。
（2）設（1）中“平方遞推數列”的前項之積為
，即
，求數列的通項及關于的表達式。
（3）記
，求數列
的前項之和
，并求使
的的最小值。
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科目：高中數學 來源：2013-2014學年山東省淄博市高三3月模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
若數列
滿足
，則稱數列為“平方遞推數列”．已知數列
中，
，點
在函數
的圖象上，其中
為正整數．
（1）證明數列
是“平方遞推數列”，且數列
為等比數列；
（2）設（1）中“平方遞推數列”的前項積為
，
即
，求
；
（3）在（2）的條件下，記
，求數列
的前項和
，并求使
的的最小值．
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科目：高中數學 來源：2013-2014學年湖北省等八校高三第一次聯考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
若數列
滿足
,則稱數列為“平方遞推數列”．已知數列
中，
，點
在函數
的圖象上，其中
為正整數．
（Ⅰ）證明數列
是“平方遞推數列”，且數列
為等比數列；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中“平方遞推數列”的前
項積為
，即
，求
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記
，求數列
的前項和
，并求使
的的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
定義：若數列
滿足
，則稱數列為“平方數列”。已知數列
中，
，點
在函數
的圖像上，其中
為正整數。
⑴證明：數列
是“平方數列”，且
數列
為等比數列。
⑵設
⑴中“平方數列”的前項之積為
，即
，求數列的通項及關于的表達式。
⑶記
，求數列
的前項之和
，并求使
的的最小值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
已知數列{
}中, 
,前
項和為
,且
.
(1)求
；
(2)求證:數列
為等差數列,并寫出其通項公式;
(3)設
,試問是否存在正整數
其中（
),使
成等比數列?若存在,求出所有滿足條件的數組
;若不存在,說明理由.
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