Question

若數列滿足,則稱數列為“平方遞推數列”．已知數列中，，點在函數的圖象上，其中為正整數．

（Ⅰ）證明數列是“平方遞推數列”，且數列為等比數列；

（Ⅱ）設（Ⅰ）中“平方遞推數列”的前項積為，即，求；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記，求數列的前項和，并求使的的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)； (Ⅲ），

【解析】

試題分析：(Ⅰ)將點的坐標代入函數解析式得，由定義可知是“平方遞推數列”. 由得是以為首項，2為公比的等比數列；

（Ⅱ)先由(Ⅰ)中等比數列得，故：；

(Ⅲ）先求得，再求，由，得，從而解得.

試題解析：（I）由題意得：，  即 ，

則是“平方遞推數列”．                        2分

又有得是以為首項，2為公比的等比數列．4分

（II）由（I）知 ，                     5分

．8分

（III） ，                            9分

 ，                               10分

又，即，，

又 ， ．                          13分

考點：1.等比數列的判定；2.數列求和；3.數列不等式的解法